Уравнения плоского движения.
Основная теорема
Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.
Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:
Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А .
Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при х А = const и у А = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.
При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.
Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.
Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точкиВ относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором r B (рис.5):
r B = r A + ρ,
где r A - радиус-вектор точки А , ρ = АВ
вектор, определяющий положение точки В
относительно подвижных осей Ах 1 у 1 , перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху .
Тогда скорость точки В будет равна
.
В полученном равенстве величина является скоростью полюса А.
Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах 1 у 1 при вращении фигуры вокруг полюса А . Введем для этой скорости обозначение :
Следовательно,
|
Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна
Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).
Пример 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна V C .
Решение. Выбираем точку С, скорость которой известна за полюс. Тогда скорость точки А равна
где и по модулю .
Значение угловой скорости ω найдем из условия того, что точка Р колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент равна нулю V Р = 0 .
В данный момент скорость точки Р равна
Так как в точке Р скорости и направлены по одной прямой противоположные стороны и V Р = 0 , то V PC = V C , откуда получаем, что ω = V C . /R , следовательно, V AC = ω R = V C .
Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах и , модули которых равны, следовательно
Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна
При этом скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому V B = 2V C .
Стержень АВ совершает плоское движение, которое можно представить как падение без начальной скорости под действием силы тяжести и вращение вокруг центра тяжести С с постоянной угловой скоростью .
Определить уравнения движения точки В , если в начальный момент стержень АВ был горизонтален, а точка В была справа. Ускорение силы тяжести q . Длина стержня 2l . Начальное положение точки С взять за начало координат, а оси координат направить, как указано на рисунке.
На основании соотношений (2) и(3) уравнения (1) примут вид:
Производя интегрирование и замечая, что в начальный момент t=0, x B =l и y B =0 ,получим координаты точки В в следующем виде.
Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Плоскопараллельное движение твердого тела.
2. Уравнения плоскопараллельного движения.
3. Разложение движения на поступательное и вращательное.
4. Определение скоростей точек плоской фигуры.
5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
7. Решение задач на определение скорости.
8. План скоростей.
9. Определение ускорений точек плоской фигуры.
10. Решение задач на ускорения.
11. Мгновенный центр ускорений.
Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».
Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.
Разложение движения на поступательное и вращательное
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис.28 Рис.29
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy , параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ ’, перпендикулярной течению S , т. е. плоскости П , движутся тождественно.
Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S . Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху .
Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x A и y A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х . Точку А , выбранную для определения положения фигуры S , будем в дальнейшем называть полюсом.
При движении фигуры величины x A и y A и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости
Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А . Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А . Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А , и из вращательного движения вокруг этого полюса.
Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда
Просмотр: эта статья прочитана 11766 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, которые параллельны некоторой недвижимой плоскости (базовой).
Изучение плоского движения абсолютно твердого тела сведится к изучению одного сечения плоской фигуры, которое определяется движением трех точек, которые не лежат на одной прямой.
Задав угол поворота тела вокруг прямой, которая проходит через полюс А перпендикулярно к плоскости сечения, получим закон плоскопаралельного движения
Плоскопараллельное движение твердого тела состоит из поступательного,при котором точки тела движутся вместе с полюсом, и вращательного вокруг полюса.
Основные кинематические характеристики плоского движения тела:
- скорость и ускорение поступательного движения полюса,
- угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.
Траектория произвольной точки плоской фигуры определяется расстоянием от точки до полюса А и углом вращения вокруг полюса.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Скорость произвольной точки равна геометрической сумме скорости точки, которая принята за полюс, и вращательной скорости данной точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса.
Модуль и направление скорости находится построением соответствующего параллелограмма.
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
Мгновенный центр скоростей
(МЦС) - точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. МЦС рассматривают в качестве полюса.
- Скорость произвольной точки тела, которая принадлежит плоской фигуре, равняется ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модуль скорости произвольной точки А равняется произведению угловой скорости тела на длину отрезка от точки до МЦС. Вектор направлен перпендикулярно к отрезку от точки до МЦС в направлении вращения тела
- Модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС
Случаи определения мгновенного центра скоростей
- Если известны скорость одной точки тела, угловая скорость вращения тела, то для нахождения МЦС (Р) необходимо повернуть вектор скорости точки в сторону вращения на 90 0 и на найденном луче отложить отрезок АР
- Если скорости двух точек тела параллельны и перпендикулярны прямой, которая проходит через эти точки, то МЦС находится в точке пересечения этой прямой и прямой, которая соединяет концы векторов скоростей
- Если известны направления скоростей двух точек тела и их направления не параллельны, то МЦС находится в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям в этих точках
- Если колесо катится по недвижимой поверхности без скольжения, то МЦС (Р) находится в точке соприкосновения колеса с недвижимой поверхностью
В случаях 2 и 3 возможные исключения (мгновенно поступательное движение или мгновенный покой).
Сложное движение точки
Сложное движение точки - движение, при котором точка одновременно принимает участие в нескольких движениях.
Относительное движение - движение относительно подвижной системы отсчета.
Переносное движение - движениет подвижной системы отчета (переносящей среды) вместе с точкой относительно неподвижной системы отсчета.
Абсолютное движение
- движение точки относительно недвижимой системы отсчета
Абсолютное движение точки является сложным движением, т.к. состоит из относительного и переносного движений.
При сложном движении абсолютная скорость точки равняется геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей
Определение ускорений точки
Абсолютное ускорение точки равняется геометрической сумме трех векторов: относительного ускорения, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного ускорения, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении, и ускорения Кориолиса, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.
Ускорением Кориолиса точки называется двойное векторное произведение угловой скорости переносящей среды и относительной скорости точки.
Формат: pdf
Язык: русский, украинский
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов
Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюсаА , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда
В полученном равенстве величина есть скорость полюсаА ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что
Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюсаА :
где - угловая скорость фигуры.
Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точкиА , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.31).
Рис.30 Рис.31
23. Фактически уравнением поступательного движения твердого тела является уравнение второго закона Ньютона: Используя уравнения:
И получаем .
24.В этом случае составляющие
– момента внешних сил, направленные вдоль x и y , компенсируются моментами сил реакции закрепления .
Вращение вокруг оси z происходит только под действием
6.4 
6.5 
Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z .Получим уравнение динамики для некоторой точки m i этого тела находящегося на расстоянии R i от оси вращения. При этом помним, что и
Направлены всегда вдоль оси вращения z, поэтому в дальнейшем опустим значок z .
Так как у всех точек разная, введем, вектор угловой скорости причем
Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения m i иR i останутся неизменными. Тогда:
Обозначим I i – момент инерции точки находящейся на расстоянии R от оси вращения:
Так как тело состоит из огромного количества точек и все они находятся на разных расстояниях от оси вращения, то момент инерции тела равен:
где R – расстояние от оси z до dm. Как видно, момент инерции I – величина скалярная.
Просуммировав по всем i- ым точкам,
получим или - Это основное уравнение
динамики тела вращающегося вокруг неподвижной оси .
26) Момент импульса твердого тела.
Момент импульса есть векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек тела относительно неподвижной оси.
Если ось вращения твердого тела закреплена, то момент силы перпендикулярный этой оси ()за счет сил трения в подшипниках всегда будет равняться нулю.
Скорость изменения момента импульса твердого тела вдоль оси вращения, которая закреплена, равняется результирующему моменту внешних сил, направленному вдоль этой оси.
– момент инерции.
28)Момент сил трения качения – закон Кулона. Коэффициент трения качения.
Трение качения. Существование трения качения можно установить экспериментально, например, при исследовании качения тяжелого цилиндра радиуса на горизонтальной плоскости.
Если цилиндр и плоскость - твердые тела с шероховатыми поверхностями (рис. 55, a), то их касание будет происходить в точке, сила N уравновешивает силу тяжести P, а горизонтальная сила Q и сила трения F образуют пару сил (Q,F) под действием которой цилиндр должен начинать движение при любых величинах силы Q. В действительности же цилиндр начинает движение после того, как величина силы Q превысит предельное значение Ql.
Этот факт можно объяснить, если предположить, что цилиндр и плоскость деформируются. Тогда их контакт будет происходить по малой площадке или лунке (на рис. 55, b малая площадка изображена своим сечением). При увеличении силы Q центр давления будет перемещаться из середины сечения вправо. В результате образуется пара сил (P,N), которая препятствует началу движения цилиндра. В состоянии предельного равновесия на цилиндр действуют пара сил (Ql,F) с моментом Ql·r и уравновешивающая ее пара (P,N) с моментом N·δ, где δ - значение максимального смещения. Из равенства моментов пар сил находим (6)
Пока Q
Обычно рис. 55, b упрощают, не изображая на нем смещения точки приложения нормальной реакции, добавляя к силам на рис. 55, a пару сил, препятствующую качению цилиндра, как показано на рис. 55, c.
Момент этой пары сил называется моментом трения качения , он равен моменту пары сил (P,N): (7)
Входящая в формулы (6) и (7) величина максимального смещения точки приложения нормальной реакции δ называется коэффициентом трения качения. Он имеет размерность длины и определяется экспериментально. Приведем приближенные значения этого коэффициента (в метрах) для некоторых материалов: дерево по дереву δ = 0,0005-0,0008; мягкая сталь по стали (колесо по рельсу) - 0.00005; закаленная сталь по стали (шарикоподшипник) - 0.00001.
Отношение δ/r в формуле (6) для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения покоя f0 . Поэтому в технике, когда это возможно, стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шарикоподшипники и т.п.).
Закон Амонтона - Кулона
Основная статья: Закон Кулона (механика)
Не путать с законом Кулона!
Основной характеристикой трения является коэффициент трения μ, который определяется материалами, из которых изготовлены поверхности взаимодействующих тел.
В простейших случаях сила трения F и нормальная нагрузка (или сила нормальной реакции) Nnormal связаны неравенством обращающимся в равенство только при наличии относительного движения. Это соотношение называется законом Амонтона - Кулона.
