Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применим в том случае, когда нельзя записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда дано рациональное уравнение с тремя или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Методика решения задач
на растворы с применением
правила креста

Многие важные вопросы изучения курса химии по ряду причин исключены из школьной программы. Среди них закон эквивалентов, разные способы выражения концентрации растворов, правило креста и многие другие. Однако на факультативных занятиях, при подготовке ребят к олимпиадам без них не обойтись. Да и в жизни ребятам они пригодятся, особенно тем, кто свяжет будущую профессию с химией (заводские лаборатории, аптеки, научно-исследовательская работа, да и просто химия в быту).
Особенно трудно в этом отношении молодым учителям – у них нет той массы дополнительной литературы, которую накопили старые учителя за десятки лет работы в школе, а что издает современная книгопечатная отрасль промышленности – известно всем. Поэтому предлагаемая методика решения задач на растворы с применением правила креста, думается, хоть сколько-то поможет молодым коллегам в этом деле.

«Конверт Пирсона»

Очень часто в лабораторной практике и при решении олимпиадных задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчет. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «конверта Пирсона», или, что то же самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m 1 , а второго – через m 2 , то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – 1 , во втором – 2 , а в их смеси – 3 . Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:

m 1 1 + m 2 2 = 3 (m 1 + m 2) .

Отсюда

m 1 ( 1 – 3) = m 2 ( 3 – 2),

m 1 /m 2 = ( 3 – 2)/( 1 – 3).

Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.

ЗАДАЧА 1

Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

Дано:

m 1 = 150 г,
m 2 = 250 г,
1 = 30%,
2 = 10%.

Найти:

Решение

1-й способ (метод пропорций).

Общая масса раствора:

m 3 = m 1 + m 2 = 150 + 250 = 400 г.

Массу вещества в первом растворе находим методом пропорций, исходя из определения: процентная концентрация раствора показывает, сколько граммов растворенного вещества находится в 100 г раствора:

100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,

150 г 30%-го р-ра – х г в-ва,

х = 150 30/100 = 45 г.

Для второго раствора составляем аналогичную пропорцию:

100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,

250 г 10%-го р-ра – y г в-ва,

y = 250 10/100 = 25 г.

Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 + 25 = 70 г растворенного вещества.

Теперь можно определить концентрацию нового раствора:

400 г р-ра – 70 г в-ва,

100 г р-ра – z г в-ва,

z = 100 70/400 = 17,5 г, или 17,5%.

2-й способ (алгебраический).

m 1 1 + m 2 2 = 3 (m 1 + m 2).

3 = (m 1 1 + m 2 2)/(m 1 + m 2).

В результате находим:

3 = (150 30 + 250 10)/(150 + 250) = 17,5%.

3-й способ (правило креста).

( 3 – 10)/(30 – 3) = 150/250.

(30 – 3) 150 = ( 3 – 10) 250,

4500 – 150 3 = 250 3 – 2500,

4500 – 2500 = 250 3 – 150 3 ,

7000 = 400 3 , 3 = 7000/400 = 17,5%.

Ответ. При слиянии взятых растворов получится новый раствор с концентрацией 3 = 17,5%.

Теперь решим задачи посложнее.

ЗАДАЧА 2

Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора соли и 30%-го раствора этой же соли для приготовления 500 г 20%-го раствора.

Дано:

1 = 10%,
2 = 30%,
3 = 20%,
m 3 = 500 г.

Найти:

m 1 , m 2 .

Решение

Используем правило креста.

Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно взять по 10 частей растворов исходных концентраций.
Проверим правильность нашего решения, учитывая, что 1 часть равна 500/(10 + 10) = 25 г.

250 г 10%-го р-ра – х г соли,

х = 250 10/100 = 25 г.

250 г 30%-го р-ра – y г соли,

100 г 30%-го р-ра – 30 г соли,

y = 250 30/100 = 75 г.

m (р-ра) = 250 + 250 = 500 г.

m (соли) = 25 + 75 = 100 г.

Отсюда находим 3:

500 г р-ра – 100 г соли,

100 г р-ра – 3 г соли,

3 = 100 100/500 = 20 г, или 20%.

Ответ . Для приготовления 500 г 20%-го раствора нужно взять исходные растворы по 250 г
(m 1 = 250 г, m 2 = 250 г).

ЗАДАЧА 3

Определите, сколько нужно взять растворов соли 60%-й и 10%-й концентраций для приготовления 300 г раствора 25%-й концентрации.

Дано:

1 = 60%,
2 = 10%,
3 = 25%,
3 = 300 г.

Найти:

m 1 , m 2 .

Решение

Масса одной части: 300/50 = 6 г.

m 1 = 6 15 = 90 г, m 2 = 6 35 = 210 г.

100 г 60%-го р-ра – 60 г соли,

90 г 60%-го р-ра – х г соли,

х = 54 г.

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

210 г 30%-го р-ра – y г соли,

y = 21 г.

m (соли) = 54 + 21 = 75 г.

Находим концентрацию нового раствора:

300 г р-ра – 75 г соли,

100 г р-ра – z г соли,

z = 100 75/300 = 25 г, или 25%.

Ответ . m 1 = 90 г, m 2 = 210 г.

Теперь перейдем к еще более сложным задачам.

ЗАДАЧА 4

Определите массу раствора Nа 2 СО 3 10%-й концентрации и массу сухого кристаллогидрата Na 2 CO 3 10H 2 O, которые нужно взять для приготовления 540 г раствора 15%-й концентрации .

Дано:

1 = 10%,
3 = 15%,
m 3 = 540 г.

Найти:

m 1 , m 2 .

Решение

1-й способ (через систему уравнений с двумя неизвестными).

Определяем массу соли Na 2 CO 3 в 540 г 15%-го раствора:

100 г 15%-го р-ра – 15 г соли,

540 г 15%-го р-ра – z г соли,

z = 540 15/100 = 81 г.

Cоставляем систему уравнений:

Находим молярную массу:

Избавляемся от лишних неизвестных:

m 2 = 286y /106;

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m 1 г 10%-го р-ра – х г соли,

m 1 = 100х /10 = 10х .

Подставляем m 2 и m 1 в систему уравнений:

С учетом того, что х = 81 – y , избавляемся от второго неизвестного:

10(81 – y ) + 286y /106 = 540.

y = 270/7,3 = 37 г.

Тогда m 2 = 286y /106 = 2,7 37 100 г – это масса необходимого количества кристаллогидрата Na 2 СО 3 10H 2 O.
Далее находим: х = 81 – y = 81 – 37 = 44 г – это масса соли из 10%-го раствора.
Находим массу 10%-го раствора:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m 1 г 10%-го р-ра – 44 г соли,

m 1 = 100 44/10 = 440 г.

Видно, что так можно решить данную задачу – способ надежный, но, к сожалению, достаточно длинный, громоздкий и сложный. Им успешно могут воспользоваться учащиеся с достаточно развитым логическим мышлением. Для других он будет сложноват.

2-й способ (правило креста).

Допустим, что Na 2 СО 3 10H 2 O – это «сухой раствор» (ведь он же содержит воду). Тогда найдем его «концентрацию»:

286 г – 106 г соли,

100 г – х г соли,

х = 100 106/286 = 37 г, или 37%.

Применяем правило креста.

Находим массу одной части и массы веществ:

m 1 = 20 22 = 440 г, m 2 = 20 5 = 100 г.

Ответ. Для приготовления 540 г раствора Na 2 CO 3 15%-й концентрации необходимо взять 440 г 10%-го раствора и 100 г кристаллогидрата.
Таким образом, применение правила креста удобнее и проще при решении подобных задач. Этот способ более экономичен по времени и менее трудоемок.
Правило креста можно применять и в тех случаях, когда нужно получить раствор меньшей концентрации путем разбавления водой более концентрированного раствора или получить более концентрированный раствор путем добавления к исходному раствору сухой смеси. Рассмотрим это на примерах.

ЗАДАЧА 5

Сколько воды нужно добавить к 250 г раствора соли для понижения его концентрации с 45% до 10%?

Дано:

1 = 45%,
3 = 10%,
m 1 = 250 г.

Найти:

Решение

Принимаем, что концентрация для добавляемой воды – 2 = 0%. Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый раствор: 250/10 = 25 г.
Тогда масса необходимой воды равна:

m 2 = 25 35 = 875 г.

Проверим правильность решения.
Масса нового раствора:

m 3 = 250 + 875 = 1125 г.

250 г 45%-го р-ра – х г соли,

100 г 45%-го р-ра – 45 г соли,

х = 250 45/100 = 112,5 г.

Находим 3:

1125 г р-ра – 112,5 г соли,

100 г р-ра – y г соли,

y = 100 112,5/1125 = 10 г, или 10%.

Ответ . m 2 = 875 г.

ЗАДАЧА 6

Сколько сухой соли нужно добавить к 250 г раствора 10%-й концентрации для ее увеличения до 45%?

Дано:

1 = 10%,
m 1 = 250 г,
3 = 45%.

Найти:

m (с. с.).

Решение

Принимаем, что сухая соль – это раствор с 2 = 100%. Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый раствор: 250/55 = 4,5 г.
Определяем массу сухой соли:

m (с. с.) = 4,5 35 = 158 г.

Проверяем правильность решения.
Масса нового раствора:

m 3 = 250 + 158 = 408 г.

Масса соли в исходном растворе:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

250 г 10%-го р-ра – х г соли,

х = 250 10/100 = 25 г.

Общая масса соли в новом растворе:

25 + 158 = 183 г.

Концентрация нового раствора:

408 г р-ра – 183 г соли,

100 г р-ра – y г соли,

y = 100 183/408 = 45 г, или 45%.

Ответ . m (с. с.) = 158 г.

Думается, что опытный учитель всегда найдет несколько способов решения любой задачи. Но как учила меня моя первая учительница по химии Клавдия Макаровна в школе № 17 г. Иркутска, так и я стараюсь учить своих учеников: всегда глубоко продумывать и понимать химическую сущность задачи и находить наиболее рациональный способ ее решения, а не просто подгонять под ответ в конце учебника.

Это наиболее простая и довольно точная однородная разностная схема счета газодинамики. Ее шаблзн приведен на рис. 98; значения радиусов приписываются узлам сетки, значения скорости - границам пространственных интервалов на полуцелых слоях, а значения плотности, давления и внутренней энергии - серединам интервалов на целых слоях.

Построение схемы напоминает акустический «крест». Для простоты записи выберем равномерные по массе и времени шаги и t и аппроксимируем систему следующими разностными уравнениями:

Эти уравнения записаны в том порядке, который удобен для вычислений.

Обсудим разностное выражение для вязкого давления (65). Чтобы выполнить предельный переход от разностной схемы к уравнениям газодинамики, надо сначала устремить к нулю при фиксированном коэффициенте вязкости, а затем построить серию таких предельных решений для неограниченно уменьшающихся значений . Но это очень трудоемко. Поэтому на практике объединяют эти предельные переходы в один общий, полагая хотя законность такой процедуры не доказана (плотность введена в формулу для того, чтобы коэффициенты были безразмерны).

Таким образом, вязкое давление (65) принимает вид

где - скорость звука. Выражение (67) написано для плоского случая; но обычно им пользуются при любой симметрии задачи.

Аппроксимация. Из вида шаблона на рис. 98 и симметричного написания схемы (66) нетрудно заметить, что на течениях без сжатий, когда псевдовязкость (67) обращается в нуль, схема «крест» имеет локальную аппроксимацию

На течениях со сжатиями (в том числе - с ударными волнами) псевдовязкость отлична от нуля. Правда, квадратичный член в (67а) имеет величину но линейный член имеет величину и, тем самым, ухудшает порядок аппроксимации. Кроме того, вязкие члены записываются не вполне симметрично по времени. В итоге аппроксимация ухудшается до

Нахождение разностного решения. Схема (66) - явная; вычисления по ней проводятся следующим образом. Пусть все величины на исходном слое известны. Тогда из разностного уравнения импульса (66а) находим во всех интервалах; затем из второго уравнения (66б) определяем а из уравнения (66в) - .

Последним решается уравнение энергии (66г). Формально оно является неявным алгебраическим уравнением для определения в данном интервале. Но при каждом значении индекса уравнения (66г) решаются независимо, не образуя связанной системы уравнений, так что разностная схема, по существу, остается явной.

Замечание 1. Уравнение энергии в (66) можно сделать яным, используя в нем только значение с исходного слоя:

Это несколько упрощает расчет, не влияет на устойчивость, но заметно ухудшает точность, так как погрешность аппроксимации становится даже на гладких течениях. Такой вариант используется редко.

Устойчивость схемы можно исследовать методом разделения переменных, линеаризируя схему и замораживая коэффициенты. Громоздкие выкладки приводят к условию устойчивости типа Куранта.

Например, на гладких течениях с нулевой вязкостью схема устойчива при

Для идеального газа и условие (69) принимает вид где есть адиабатическая скорость звука. На течениях с ненулевой вязкостью ограничение на шаг несколько более сильное; при квадратичной вязкости условие устойчивости принимает вид

где - скачок скорости на ударной волне. Хотя это исследование не является строгим, тем не менее данное условие устойчивости хорошо подтверждается на практике.

Таким образом, «крест» - условно устойчивая схема. Отметим любопытное обстоятельство. Для расчета гладких течений вязкость не нужна. А если рассчитать без вязкости ударную волну (выбирая небольшое удовлетворяющее условию (70)), то получим «разболтку», изображенную на рис. 99. Этот расчет устойчив, поскольку амплитуда колебаний не возрастает со временем. Но сходимости к физически правильному решению при нет, так как на разрыве потеряна аппроксимация.

Сходимость газодинамической схемы «крест» не доказана. Однако эта схема успешно используется в расчетах примерно с 1950 г. и проверена на многих трудных задачах с известными точными решениями. При стремлении шагов к нулю наблюдалась сходимость к правильному решению, если шаги удовлетворяли условию устойчивости.

Замечание 2. Схема (66) неконсервативна; однако ее дисбаланс стремится к нулю при

Замечание 3. Газодинамические задачи с очень тонкими слоями особенно трудны для расчета. В самом деле, если , то для вычисления с удовлетворительной точностью по формуле (66в) надо знать радиусы с очень высокой точностью, сравнимой с ошибками округления на ЭВМ. В подобных задачах иногда приходится вести расчет с двойным числом знаков или специально видоизменять разностную схему.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :

x = 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Я надеюсь, что этот ролик поможет тем, кто самостоятельно готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)